src/math/pow.c

   1 /* origin: FreeBSD /usr/src/lib/msun/src/e_pow.c */
   2 /*
   3  * ====================================================
   4  * Copyright (C) 2004 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
   5  *
   6  * Permission to use, copy, modify, and distribute this
   7  * software is freely granted, provided that this notice
   8  * is preserved.
   9  * ====================================================
  10  */
  11 /* pow(x,y) return x**y
  12  *
  13  *                    n
  14  * Method:  Let x =  2   * (1+f)
  15  *      1. Compute and return log2(x) in two pieces:
  16  *              log2(x) = w1 + w2,
  17  *         where w1 has 53-24 = 29 bit trailing zeros.
  18  *      2. Perform y*log2(x) = n+y' by simulating muti-precision
  19  *         arithmetic, where |y'|<=0.5.
  20  *      3. Return x**y = 2**n*exp(y'*log2)
  21  *
  22  * Special cases:
  23  *      1.  (anything) ** 0  is 1
  24  *      2.  1 ** (anything)  is 1
  25  *      3.  (anything except 1) ** NAN is NAN
  26  *      4.  NAN ** (anything except 0) is NAN
  27  *      5.  +-(|x| > 1) **  +INF is +INF
  28  *      6.  +-(|x| > 1) **  -INF is +0
  29  *      7.  +-(|x| < 1) **  +INF is +0
  30  *      8.  +-(|x| < 1) **  -INF is +INF
  31  *      9.  -1          ** +-INF is 1
  32  *      10. +0 ** (+anything except 0, NAN)               is +0
  33  *      11. -0 ** (+anything except 0, NAN, odd integer)  is +0
  34  *      12. +0 ** (-anything except 0, NAN)               is +INF, raise divbyzero
  35  *      13. -0 ** (-anything except 0, NAN, odd integer)  is +INF, raise divbyzero
  36  *      14. -0 ** (+odd integer) is -0
  37  *      15. -0 ** (-odd integer) is -INF, raise divbyzero
  38  *      16. +INF ** (+anything except 0,NAN) is +INF
  39  *      17. +INF ** (-anything except 0,NAN) is +0
  40  *      18. -INF ** (+odd integer) is -INF
  41  *      19. -INF ** (anything) = -0 ** (-anything), (anything except odd integer)
  42  *      20. (anything) ** 1 is (anything)
  43  *      21. (anything) ** -1 is 1/(anything)
  44  *      22. (-anything) ** (integer) is (-1)**(integer)*(+anything**integer)
  45  *      23. (-anything except 0 and inf) ** (non-integer) is NAN
  46  *
  47  * Accuracy:
  48  *      pow(x,y) returns x**y nearly rounded. In particular
  49  *                      pow(integer,integer)
  50  *      always returns the correct integer provided it is
  51  *      representable.
  52  *
  53  * Constants :
  54  * The hexadecimal values are the intended ones for the following
  55  * constants. The decimal values may be used, provided that the
  56  * compiler will convert from decimal to binary accurately enough
  57  * to produce the hexadecimal values shown.
  58  */
  59
  60 #include "libm.h"
  61
  62 static const double
  63 bp[]   = {1.0, 1.5,},
  64 dp_h[] = { 0.0, 5.84962487220764160156e-01,}, /* 0x3FE2B803, 0x40000000 */
  65 dp_l[] = { 0.0, 1.35003920212974897128e-08,}, /* 0x3E4CFDEB, 0x43CFD006 */
  66 two53  =  9007199254740992.0, /* 0x43400000, 0x00000000 */
  67 huge   =  1.0e300,
  68 tiny   =  1.0e-300,
  69 /* poly coefs for (3/2)*(log(x)-2s-2/3*s**3 */
  70 L1 =  5.99999999999994648725e-01, /* 0x3FE33333, 0x33333303 */
  71 L2 =  4.28571428578550184252e-01, /* 0x3FDB6DB6, 0xDB6FABFF */
  72 L3 =  3.33333329818377432918e-01, /* 0x3FD55555, 0x518F264D */
  73 L4 =  2.72728123808534006489e-01, /* 0x3FD17460, 0xA91D4101 */
  74 L5 =  2.30660745775561754067e-01, /* 0x3FCD864A, 0x93C9DB65 */
  75 L6 =  2.06975017800338417784e-01, /* 0x3FCA7E28, 0x4A454EEF */
  76 P1 =  1.66666666666666019037e-01, /* 0x3FC55555, 0x5555553E */
  77 P2 = -2.77777777770155933842e-03, /* 0xBF66C16C, 0x16BEBD93 */
  78 P3 =  6.61375632143793436117e-05, /* 0x3F11566A, 0xAF25DE2C */
  79 P4 = -1.65339022054652515390e-06, /* 0xBEBBBD41, 0xC5D26BF1 */
  80 P5 =  4.13813679705723846039e-08, /* 0x3E663769, 0x72BEA4D0 */
  81 lg2     =  6.93147180559945286227e-01, /* 0x3FE62E42, 0xFEFA39EF */
  82 lg2_h   =  6.93147182464599609375e-01, /* 0x3FE62E43, 0x00000000 */
  83 lg2_l   = -1.90465429995776804525e-09, /* 0xBE205C61, 0x0CA86C39 */
  84 ovt     =  8.0085662595372944372e-017, /* -(1024-log2(ovfl+.5ulp)) */
  85 cp      =  9.61796693925975554329e-01, /* 0x3FEEC709, 0xDC3A03FD =2/(3ln2) */
  86 cp_h    =  9.61796700954437255859e-01, /* 0x3FEEC709, 0xE0000000 =(float)cp */
  87 cp_l    = -7.02846165095275826516e-09, /* 0xBE3E2FE0, 0x145B01F5 =tail of cp_h*/
  88 ivln2   =  1.44269504088896338700e+00, /* 0x3FF71547, 0x652B82FE =1/ln2 */
  89 ivln2_h =  1.44269502162933349609e+00, /* 0x3FF71547, 0x60000000 =24b 1/ln2*/
  90 ivln2_l =  1.92596299112661746887e-08; /* 0x3E54AE0B, 0xF85DDF44 =1/ln2 tail*/
  91
  92 double pow(double x, double y)
  93 {
  94         double z,ax,z_h,z_l,p_h,p_l;
  95         double y1,t1,t2,r,s,t,u,v,w;
  96         int32_t i,j,k,yisint,n;
  97         int32_t hx,hy,ix,iy;
  98         uint32_t lx,ly;
  99
 100         EXTRACT_WORDS(hx, lx, x);
 101         EXTRACT_WORDS(hy, ly, y);
 102         ix = hx & 0x7fffffff;
 103         iy = hy & 0x7fffffff;
 104
 105         /* x**0 = 1, even if x is NaN */
 106         if ((iy|ly) == 0)
 107                 return 1.0;
 108         /* 1**y = 1, even if y is NaN */
 109         if (hx == 0x3ff00000 && lx == 0)
 110                 return 1.0;
 111         /* NaN if either arg is NaN */
 112         if (ix > 0x7ff00000 || (ix == 0x7ff00000 && lx != 0) ||
 113             iy > 0x7ff00000 || (iy == 0x7ff00000 && ly != 0))
 114                 return x + y;
 115
 116         /* determine if y is an odd int when x < 0
 117          * yisint = 0       ... y is not an integer
 118          * yisint = 1       ... y is an odd int
 119          * yisint = 2       ... y is an even int
 120          */
 121         yisint = 0;
 122         if (hx < 0) {
 123                 if (iy >= 0x43400000)
 124                         yisint = 2; /* even integer y */
 125                 else if (iy >= 0x3ff00000) {
 126                         k = (iy>>20) - 0x3ff;  /* exponent */
 127                         if (k > 20) {
 128                                 j = ly>>(52-k);
 129                                 if ((j<<(52-k)) == ly)
 130                                         yisint = 2 - (j&1);
 131                         } else if (ly == 0) {
 132                                 j = iy>>(20-k);
 133                                 if ((j<<(20-k)) == iy)
 134                                         yisint = 2 - (j&1);
 135                         }
 136                 }
 137         }
 138
 139         /* special value of y */
 140         if (ly == 0) {
 141                 if (iy == 0x7ff00000) {  /* y is +-inf */
 142                         if (((ix-0x3ff00000)|lx) == 0)  /* (-1)**+-inf is 1 */
 143                                 return 1.0;
 144                         else if (ix >= 0x3ff00000) /* (|x|>1)**+-inf = inf,0 */
 145                                 return hy >= 0 ? y : 0.0;
 146                         else                       /* (|x|<1)**+-inf = 0,inf */
 147                                 return hy >= 0 ? 0.0 : -y;
 148                 }
 149                 if (iy == 0x3ff00000) {    /* y is +-1 */
 150                         if (hy >= 0)
 151                                 return x;
 152                         y = 1/x;
 153 #if FLT_EVAL_METHOD!=0
 154                         {
 155                                 union {double f; uint64_t i;} u = {y};
 156                                 uint64_t i = u.i & -1ULL/2;
 157                                 if (i>>52 == 0 && (i&(i-1)))
 158                                         FORCE_EVAL((float)y);
 159                         }
 160 #endif
 161                         return y;
 162                 }
 163                 if (hy == 0x40000000)    /* y is 2 */
 164                         return x*x;
 165                 if (hy == 0x3fe00000) {  /* y is 0.5 */
 166                         if (hx >= 0)     /* x >= +0 */
 167                                 return sqrt(x);
 168                 }
 169         }
 170
 171         ax = fabs(x);
 172         /* special value of x */
 173         if (lx == 0) {
 174                 if (ix == 0x7ff00000 || ix == 0 || ix == 0x3ff00000) { /* x is +-0,+-inf,+-1 */
 175                         z = ax;
 176                         if (hy < 0)   /* z = (1/|x|) */
 177                                 z = 1.0/z;
 178                         if (hx < 0) {
 179                                 if (((ix-0x3ff00000)|yisint) == 0) {
 180                                         z = (z-z)/(z-z); /* (-1)**non-int is NaN */
 181                                 } else if (yisint == 1)
 182                                         z = -z;          /* (x<0)**odd = -(|x|**odd) */
 183                         }
 184                         return z;
 185                 }
 186         }
 187
 188         s = 1.0; /* sign of result */
 189         if (hx < 0) {
 190                 if (yisint == 0) /* (x<0)**(non-int) is NaN */
 191                         return (x-x)/(x-x);
 192                 if (yisint == 1) /* (x<0)**(odd int) */
 193                         s = -1.0;
 194         }
 195
 196         /* |y| is huge */
 197         if (iy > 0x41e00000) { /* if |y| > 2**31 */
 198                 if (iy > 0x43f00000) {  /* if |y| > 2**64, must o/uflow */
 199                         if (ix <= 0x3fefffff)
 200                                 return hy < 0 ? huge*huge : tiny*tiny;
 201                         if (ix >= 0x3ff00000)
 202                                 return hy > 0 ? huge*huge : tiny*tiny;
 203                 }
 204                 /* over/underflow if x is not close to one */
 205                 if (ix < 0x3fefffff)
 206                         return hy < 0 ? s*huge*huge : s*tiny*tiny;
 207                 if (ix > 0x3ff00000)
 208                         return hy > 0 ? s*huge*huge : s*tiny*tiny;
 209                 /* now |1-x| is tiny <= 2**-20, suffice to compute
 210                    log(x) by x-x^2/2+x^3/3-x^4/4 */
 211                 t = ax - 1.0;       /* t has 20 trailing zeros */
 212                 w = (t*t)*(0.5 - t*(0.3333333333333333333333-t*0.25));
 213                 u = ivln2_h*t;      /* ivln2_h has 21 sig. bits */
 214                 v = t*ivln2_l - w*ivln2;
 215                 t1 = u + v;
 216                 SET_LOW_WORD(t1, 0);
 217                 t2 = v - (t1-u);
 218         } else {
 219                 double ss,s2,s_h,s_l,t_h,t_l;
 220                 n = 0;
 221                 /* take care subnormal number */
 222                 if (ix < 0x00100000) {
 223                         ax *= two53;
 224                         n -= 53;
 225                         GET_HIGH_WORD(ix,ax);
 226                 }
 227                 n += ((ix)>>20) - 0x3ff;
 228                 j = ix & 0x000fffff;
 229                 /* determine interval */
 230                 ix = j | 0x3ff00000;   /* normalize ix */
 231                 if (j <= 0x3988E)      /* |x|<sqrt(3/2) */
 232                         k = 0;
 233                 else if (j < 0xBB67A)  /* |x|<sqrt(3)   */
 234                         k = 1;
 235                 else {
 236                         k = 0;
 237                         n += 1;
 238                         ix -= 0x00100000;
 239                 }
 240                 SET_HIGH_WORD(ax, ix);
 241
 242                 /* compute ss = s_h+s_l = (x-1)/(x+1) or (x-1.5)/(x+1.5) */
 243                 u = ax - bp[k];        /* bp[0]=1.0, bp[1]=1.5 */
 244                 v = 1.0/(ax+bp[k]);
 245                 ss = u*v;
 246                 s_h = ss;
 247                 SET_LOW_WORD(s_h, 0);
 248                 /* t_h=ax+bp[k] High */
 249                 t_h = 0.0;
 250                 SET_HIGH_WORD(t_h, ((ix>>1)|0x20000000) + 0x00080000 + (k<<18));
 251                 t_l = ax - (t_h-bp[k]);
 252                 s_l = v*((u-s_h*t_h)-s_h*t_l);
 253                 /* compute log(ax) */
 254                 s2 = ss*ss;
 255                 r = s2*s2*(L1+s2*(L2+s2*(L3+s2*(L4+s2*(L5+s2*L6)))));
 256                 r += s_l*(s_h+ss);
 257                 s2 = s_h*s_h;
 258                 t_h = 3.0 + s2 + r;
 259                 SET_LOW_WORD(t_h, 0);
 260                 t_l = r - ((t_h-3.0)-s2);
 261                 /* u+v = ss*(1+...) */
 262                 u = s_h*t_h;
 263                 v = s_l*t_h + t_l*ss;
 264                 /* 2/(3log2)*(ss+...) */
 265                 p_h = u + v;
 266                 SET_LOW_WORD(p_h, 0);
 267                 p_l = v - (p_h-u);
 268                 z_h = cp_h*p_h;        /* cp_h+cp_l = 2/(3*log2) */
 269                 z_l = cp_l*p_h+p_l*cp + dp_l[k];
 270                 /* log2(ax) = (ss+..)*2/(3*log2) = n + dp_h + z_h + z_l */
 271                 t = (double)n;
 272                 t1 = ((z_h + z_l) + dp_h[k]) + t;
 273                 SET_LOW_WORD(t1, 0);
 274                 t2 = z_l - (((t1 - t) - dp_h[k]) - z_h);
 275         }
 276
 277         /* split up y into y1+y2 and compute (y1+y2)*(t1+t2) */
 278         y1 = y;
 279         SET_LOW_WORD(y1, 0);
 280         p_l = (y-y1)*t1 + y*t2;
 281         p_h = y1*t1;
 282         z = p_l + p_h;
 283         EXTRACT_WORDS(j, i, z);
 284         if (j >= 0x40900000) {                      /* z >= 1024 */
 285                 if (((j-0x40900000)|i) != 0)        /* if z > 1024 */
 286                         return s*huge*huge;         /* overflow */
 287                 if (p_l + ovt > z - p_h)
 288                         return s*huge*huge;         /* overflow */
 289         } else if ((j&0x7fffffff) >= 0x4090cc00) {  /* z <= -1075 */  // FIXME: instead of abs(j) use unsigned j
 290                 if (((j-0xc090cc00)|i) != 0)        /* z < -1075 */
 291                         return s*tiny*tiny;         /* underflow */
 292                 if (p_l <= z - p_h)
 293                         return s*tiny*tiny;         /* underflow */
 294         }
 295         /*
 296          * compute 2**(p_h+p_l)
 297          */
 298         i = j & 0x7fffffff;
 299         k = (i>>20) - 0x3ff;
 300         n = 0;
 301         if (i > 0x3fe00000) {  /* if |z| > 0.5, set n = [z+0.5] */
 302                 n = j + (0x00100000>>(k+1));
 303                 k = ((n&0x7fffffff)>>20) - 0x3ff;  /* new k for n */
 304                 t = 0.0;
 305                 SET_HIGH_WORD(t, n & ~(0x000fffff>>k));
 306                 n = ((n&0x000fffff)|0x00100000)>>(20-k);
 307                 if (j < 0)
 308                         n = -n;
 309                 p_h -= t;
 310         }
 311         t = p_l + p_h;
 312         SET_LOW_WORD(t, 0);
 313         u = t*lg2_h;
 314         v = (p_l-(t-p_h))*lg2 + t*lg2_l;
 315         z = u + v;
 316         w = v - (z-u);
 317         t = z*z;
 318         t1 = z - t*(P1+t*(P2+t*(P3+t*(P4+t*P5))));
 319         r = (z*t1)/(t1-2.0) - (w + z*w);
 320         z = 1.0 - (r-z);
 321         GET_HIGH_WORD(j, z);
 322         j += n<<20;
 323         if ((j>>20) <= 0)  /* subnormal output */
 324                 z = scalbn(z,n);
 325         else
 326                 SET_HIGH_WORD(z, j);
 327         return s*z;
 328 }